Codeforces559E

Codeforces559E题解

题意：

• 一条路上有$n$盏不同的灯，每盏灯所在位置为$p_i$，向左或者向右可以照射的距离为$l_i$，求最大总照射长度。
• $n \leq 100,l_i,p_i \leq 10^8$。

题解：

• 这道题dp思路似乎都很神奇？
• 设$dp[i][j][k]$表示到第$i$盏灯（按位置从左到右），最左边的需要覆盖到的位置是$j$（0代表不存在未覆盖），最右端位置是$k$，包括了这段实际没有覆盖的最大总长度。
• 考虑转移：
  • 向右照射，且之前的最左边需要覆盖的位置不变，转移方程：
    • $$dp[i][j][max(R[i],k)]=max(dp[i][j][max(R[i],k)],dp[i-1][j][k]+max(0,R[i]-k]))$$
  • 向左照射，且覆盖掉了原来实际没有覆盖（或者原来没有未覆盖）的部分，转移方程：
    • $$dp[i][0][max(p[i],k)]=max(dp[i][0][max(p[i],k)],dp[i-1][j][k]+max(0,p[i]-k]))(L[i] \leq j)$$
  • 向右照射，且原来没有未覆盖部分，最右边位置在当前灯位置左边，取最右边位置后某一处$j$到当前位置作为假装覆盖实际没有覆盖部分（或者不选取），转移方程：
    • $$dp[i][k][R[i]]=max(dp[i][k][R[i]],dp[i-1][0][j]+R[i]-k)(j \leq k<p[i])$$
  • 向左照射，且原来没有未覆盖部分，最右边位置在当前灯照射左边界左边，取最右边位置后某一处$j$到当前位置作为假装覆盖实际没有覆盖部分（或者不选取），转移方程：
    • $$dp[i][k][max(x[i],j)]=max(dp[i][k][max(x[i],j)],dp[i-1][0][j]+p[i]-k)(j \leq k<L[i])$$
• 总时间复杂度$O(n^3)$。

代码：

#include <bits/stdc++.h>
#define gc getchar()
#define N 109
using namespace std;
int n,x[N],l[N],num[N],L[N],R[N],a[N],b[N],dp[N][N*3][N*3],ans;
vector <int> lsh;
int read()
{
	int x=1;
	char ch;
	while (ch=gc,ch<'0'||ch>'9') if (ch=='-') x=-1;
	int s=ch-'0';
	while (ch=gc,ch>='0'&&ch<='9') s=s*10+ch-48;
	return s*x;
}
bool cmp(int aa,int bb)
{
	return x[aa]<x[bb];
}
int main()
{
	n=read();
	for (int i=1;i<=n;i++)
	{
		x[i]=read(),l[i]=read(),num[i]=i;
		lsh.push_back(x[i]-l[i]),lsh.push_back(x[i]),lsh.push_back(x[i]+l[i]);
	}
	sort(num+1,num+n+1,cmp);
	sort(lsh.begin(),lsh.end());
	lsh.erase(unique(lsh.begin(),lsh.end()),lsh.end());
	for (int i=1;i<=n;i++)
		a[i]=x[num[i]],b[i]=l[num[i]];
	for (int i=1;i<=n;i++)
	{
		L[i]=lower_bound(lsh.begin(),lsh.end(),a[i]-b[i])-lsh.begin()+1;
		x[i]=lower_bound(lsh.begin(),lsh.end(),a[i])-lsh.begin()+1;
		R[i]=lower_bound(lsh.begin(),lsh.end(),a[i]+b[i])-lsh.begin()+1;
	}
	for (int i=1;i<=n;i++)
	{
		for (int j=1;j<=lsh.size();j++)
			for (int k=j;k<=lsh.size();k++)
			{
				dp[i][j][max(R[i],k)]=max(dp[i][j][max(R[i],k)],dp[i-1][j][k]+max(0,lsh[R[i]-1]-lsh[k-1]));
				if (L[i]<=j) dp[i][0][max(x[i],k)]=max(dp[i][0][max(x[i],k)],dp[i-1][j][k]+max(0,lsh[x[i]-1]-lsh[k-1]));
			}
		for (int j=1;j<=lsh.size();j++)
		{
			if (j<x[i])
			{
				dp[i][0][R[i]]=max(dp[i][0][R[i]],dp[i-1][0][j]+lsh[R[i]-1]-lsh[x[i]-1]);
				for (int k=j;k<x[i];k++)
					dp[i][k][R[i]]=max(dp[i][k][R[i]],dp[i-1][0][j]+lsh[R[i]-1]-lsh[k-1]);
			}
			else
				dp[i][0][max(R[i],j)]=max(dp[i][0][max(R[i],j)],dp[i-1][0][j]+max(0,lsh[R[i]-1]-lsh[j-1]));
			dp[i][0][max(x[i],j)]=max(dp[i][0][max(x[i],j)],dp[i-1][0][j]+max(0,lsh[x[i]-1]-lsh[max(j,L[i])-1]));
			for (int k=j;k<L[i];k++)
				dp[i][k][max(x[i],j)]=max(dp[i][k][max(x[i],j)],dp[i-1][0][j]+lsh[x[i]-1]-lsh[k-1]);
		}
	}
	for (int i=1;i<=lsh.size();i++)
		ans=max(ans,dp[n][0][i]);
	printf("%d\n",ans);
	return 0;
}