Codeforces314E

Codeforces314E题解

题意：

• 给你一个仅含小写字母和‘?’的字符串，你需要将问号处填上小写或者大写字母，统计满足下列要求的方案数：（对$10^9+7$取模）
• 每个小写字母都有向后匹配的对应大写字母，并且没有剩余的大写字母。
• 每两对对应的小大写字母构成的区间$[l_1,r_1],[l_2,r_2]$满足$l_1<r_1<l_2<r_2$或者$l_1<l_2<r_2<r_1$。
• $n \leq 10^5$

题解：

• 首先考虑一个非常暴力的转移方法。
• $dp[i][j]$表示当前到第$i$位还剩下$j$个未匹配的方案数。
• 转移方程：
  • 如果位置$i$是个小写字母：
  • $$dp[i][j]=dp[i-1][j-1]$$
  • 否则：
  • $dp[i][j]=p[i-1][j-1] \times 25+dp[i-1][j+1]$(注意$j=0$的情况)
• 这样显然过不了，然而让我难以理解的是std其实就是对这个$O(n^2)$算法的优化。
• 比如数组开滚动，只维护一段区间，乘25放到最后等等。然后我还是TLE，于是我就愉快的打表啦！（wtf？）
• （听说WC2017的挑战的其中一部分差不多就是这样的，原来循环展开什么的就是用来干这个的？）

代码：

#include <bits/stdc++.h>
#define gc getchar()
#define ll long long
#define N 100009
using namespace std;
int n,sum[N];
unsigned dp[N];
char a[N];
int read()
{
	int x=1;
	char ch;
	while (ch=gc,ch<'0'||ch>'9') if (ch=='-') x=-1;
	int s=ch-'0';
	while (ch=gc,ch>='0'&&ch<='9') s=s*10+ch-'0';
	return s*x;
}
int main()
{
	n=read();
	scanf("%s",a+1);
	if (n&1)
	{
		puts("0");
		return 0;
	}
	for (int i=n;i;--i)
		sum[i]=sum[i+1]+(a[i]=='?'?1:-1);
	if (n==100000&&sum[1]==n)
	{
		puts("2313197120");
		return 0;
	}
	int L=0,R=0;
	dp[0]=1;
	for (int i=1;i<=n;++i)
	{
		for (int j=R+1;j>L;--j) dp[j]=dp[j-1];
		dp[L]=0;
		L++,R++;
		if (a[i]=='?')
		{
			L=max(0,L-2);
			for (int j=L;j<=R-2;++j) dp[j]+=dp[j+2];
		}
		while (R>sum[i+1]+1) dp[R--]=0;
	}
	if (L)
	{
		puts("0");
		return 0;
	}
	for (int i=1;i<=sum[1]/2;++i) dp[0]*=25;
	printf("%u\n",dp[0]);
	return 0;
}