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Uoj#37.【清华集训2014】主旋律

Uoj#37. 【清华集训2014】主旋律

题意:

  • 给出一张$n$个点的有向图,询问有多少子图是强连通的。
  • $n\le 15$。

题解:

  • 原问题并不好做,考虑求有多少子图是不强联通的。
  • 一个图是不强连通的,也就是缩点后大于等于$2$个点。

一种暴力

  • 考虑用$f(S)$表示点集为$S$的$DAG$方案数。
  • 枚举入度为$0$的点集,容斥转移:
  • (此处$S,T$均为缩点后的点集)
  • 其中$cross[T][S]$表示从点集$T$向点集$S$连接的单向边数。
  • 这样光是$\rm dp$的复杂度就有$O(m\times 3^n)$,还不包括枚举强连通分量缩点后情况的部分。

更优秀的做法

  • 上述暴力中系数只跟缩点后中$T$的大小(也就是原图中$T$被分为几个强连通分量)有关。
  • 那么转移也可以写为:
  • (此处$S,T$均为原图中的点集)
  • 其中$g_k[T]$表示将$T$分为$k$个强连通分量的方案数,$h[S]$表示起终点都在$S$中的方案数。
  • 其中$h[S]$很容易求出。
  • 然后我们按$k$奇偶分类。
  • 我们只需要计算$p[S]=\sum\limits_{k=1}^{\lfloor\frac{|S|+1}{2}\rfloor}g_{2k-1}[S]-\sum\limits_{k=1}^{\lfloor\frac{|S|}{2}\rfloor}g_{2k}[S]$和$cross[T][S-T]$即可。
  • 设$dp[S]$为点集$S$组成了一个强连通分量的方案数。
  • 可以得到转移:
  • 这里$u\in T$是为了重复计数(不同顺序枚举子集)。
  • 那么:
  • 然后$cross[T][S-T]$可以在枚举$T$的时候一步步更改得到。
  • 然后$\rm dp$复杂度就是$O(3^n)$的了。

代码:

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#include <bits/stdc++.h>
#define gc getchar()
#define N 17
#define M 230
using namespace std;
typedef long long ll;
const int mod=1000000007;
int n,m,out[N],in[N],bit[M],cnt[1<<N],dp[1<<N],p[1<<N],h[1<<N],cross[1<<N],lg[1<<N];
int read()
{
int x=1;
char ch;
while (ch=gc,ch<'0'||ch>'9') if (ch=='-') x=-1;
int s=ch-'0';
while (ch=gc,ch>='0'&&ch<='9') s=s*10+ch-'0';
return s*x;
}
int lowbit(int x)
{
return x&(-x);
}
int main()
{
n=read(),m=read();
for (int i=1;i<=m;i++)
{
int x=read(),y=read();
out[x]|=1<<y-1;
in[y]|=1<<x-1;
}
bit[0]=1;
for (int i=1;i<M;i++) bit[i]=(bit[i-1]<<1)%mod;
for (int i=1;i<(1<<N);i++) cnt[i]=cnt[i>>1]+(i&1);
lg[0]=-1;
for (int i=1;i<(1<<N);i++) lg[i]=lg[i>>1]+1;
h[0]=0;
dp[0]=1;
p[0]=mod-1;
for (int i=1;i<(1<<n);i++)
{
if (cnt[i]==1)
{
dp[i]=p[i]=1,h[i]=0;
continue;
}
h[i]=0;
for (int j=1;j<=n;j++)
if (i>>(j-1)&1) h[i]+=cnt[out[j]&i];
int nxt=lowbit(i);
for (int j=(i-nxt-1)&(i-nxt);;j=(j-1)&(i-nxt))
{
int k=j^nxt;
p[i]=(p[i]+mod-(ll)dp[k]*p[i-k]%mod)%mod;
if (!j) break;
}
dp[i]=bit[h[i]];
for (int j=i;j;j=(j-1)&i)
{
if (j==i) cross[j]=0;
else
{
int k=lowbit(i-j);
cross[j]=cross[j^k]+cnt[in[lg[k]+1]&j]-cnt[out[lg[k]+1]&(i-j)];
}
dp[i]=(dp[i]+mod-(ll)p[j]*bit[cross[j]]%mod*bit[h[i-j]]%mod)%mod;
}
p[i]=(p[i]+dp[i])%mod;
}
printf("%d\n",dp[(1<<n)-1]);
return 0;
}
-------------本文结束感谢您的阅读-------------

本文标题:Uoj#37.【清华集训2014】主旋律

文章作者:wzf2000

发布时间:2018年04月18日 - 15:04

最后更新:2018年04月27日 - 11:04

原始链接:https://wzf2000.github.io/2018/04/18/Uoj37/

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